Конечно самостоятельно  ножки не выдержат такого веса,картон у них тонковат,да и ребёнок будет заниматься,опираясь на стол,а то и влезая на него)) . Самый простой  и дешёвый способ- многократно оклеить ножки бумагой, в технике папье-маше,да и в ходе оклейки можно столешницу "примазать" к ножкам,не разъедутся.
Идея замечательная! Успехов Вам в творческом начале,пусть эта работа будет Вас радовать как в процессе изготовления,так и в его прямом назначении. 

Отличный столик будет! А в ножки можно залить гипс. он застынет и ножки будут прочные (я так планирую сделать с тумбой для обуви).

Да, от бумажных полотенец тонковаты, вот от фольги или пищевой пленки- в самый раз. Еще видела в интернете ножки для столов из скрученных в трубочку журналов, попробую отыскать ссылку. В конце концов, просто склеить из гофрокартона трубку, чтобы гофра была вдоль ножки, вставить внутрь и набить газетами, чтобы не были полыми. Я сейчас тоже в процессе создания прикроватной тумбочки из картона

В ножки я бы вставила арматуру, а потом заполнила папье-маше. Высохнет- будет прочно и не тяжело как с гипсом. (мне так кажется). А за саму идею- благодарствую, может пригодиться для цветочных подставочек!

Попробуйте заполнить монтажной пеной,она раздуется в разные стороны и ножки гнуться не будут в тоже время столик останется легким.

Вот как раз МК для вас вышел https://podjem-tal.ru/node/615409?tid=451